Cómo el plano proyectivo pasó de ser una idea rara a tener sentido

En su boletín, un autor de matemáticas cuenta cómo cambió su forma de ver el plano proyectivo. Al principio, este tema le parecía una idea sin motivación. Cuando era estudiante, el espacio proyectivo y las coordenadas homogéneas se presentaban sin explicar para qué servían. Mucho después entendió que son conceptos naturales. Los casos excepcionales y las referencias vagas a objetos "en el infinito" desaparecen al pasar al espacio proyectivo.

Su educación matemática fue primero de ideas y después de casos concretos. Eso le funcionó un tiempo. Pero en el posgrado llegó a su límite de paciencia con las ideas abstractas. Ahora prefiere empezar por lo concreto y explicar las ideas después. La primera vez que vio el plano proyectivo fue quizá en una clase de topología.

Allí alguien dijo que se podía construir pegando los bordes opuestos de un cuadrado de forma imposible. Le pareció un truco para construir una variedad no orientable, pero nada práctico. Según el autor, le habría gustado que alguien dijera que el plano proyectivo se inventó para hacer la geometría más elegante. También sirve para dar rigor a la idea de lo "en el infinito". Por ejemplo, en los cálculos geométricos las líneas verticales necesitan un trato especial.

Pero en la geometría proyectiva las verticales no son especiales. El autor señala que un programador de gráficos puede representar los puntos como (x, y, 1). Luego puede usar (x, y, 0) para el punto en el infinito en la dirección (x, y). Si uno empieza a calcular con estas coordenadas extendidas, termina descubriendo las coordenadas homogéneas. Algo parecido ocurre en la criptografía de curvas elípticas, donde aparece un misterioso "punto en el infinito".